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संबंध और फलन (Relation & Function)

प्रश्नानली-1.1

1. निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य , सममित तथा संक्रामक हैं :

(i) समुच्चय A = { 1, 2 ,3 ……………..13,14 } में संबंध R , इस प्रकार परिभाषित है कि R = { (x ,y) : 3x – y = 0}

(ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में R = {(x ,y) : y=x + 5 तथा x < 4 } द्वारा परिभाषित संबंध R

(iii) समुच्चय A = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } में R = {(x ,y) : y भाज्य है x से } द्वारा परिभाषित संबंध R है |

(iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {(x ,y) : x-y एक पूर्णांक है } द्वारा परिभाषित संबंध R

(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R

(a) R = {(x ,y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं }

(b) R = {(x ,y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं }

(c) R = {(x ,y) : x ,y से ठीक-ठीक 7 सेमी. लंबा है }

(d) R = {(x ,y) : x ,y की पत्नी है }

(e) R = {(x ,y) : x ,y के पिता है }

हल :- (i) A = { 1 ,2 ,3 ……………..13 ,14 }

R = { (x ,y) : 3x – y = 0}

  \therefore R = {(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)}

R स्वतुल्य नहीं है ,क्योंकि (1,1),(2,2),(3,3)……….(13,13),(14,14) \notin R

R सममित नहीं है ,क्योंकि (1,3) \in R लेकिन (3,1) \notin R

तथा R संक्रामक नहीं है ,क्योंकि (1,3),(3,9) \in R लेकिन (1,9) \notin R

अतः R न स्वतुल्य है , न संक्रामक और न ही सममित संबंध है |

(ii) R = {(x ,y) : y=x + 5 तथा x < 4 }

R = {(1,6),(2,7),(3,8)}

R स्वतुल्य नहीं है ,क्योंकि (1,1) \notin R

R सममित नहीं है ,क्योंकि (1,6) \in R लेकिन (6,1) \notin R

तथा R संक्रामक नहीं है ,क्योंकि (x,y) \in R तथा (y,z) \in R लेकिन (x,z) \notin R

अतः R न स्वतुल्य है , न संक्रामक और न ही सममित संबंध है |

(iii) A = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }

R = {(x ,y) : y भाज्य है x से }

R स्वतुल्य नहीं है ,क्योंकि हम जानते है कि प्रत्येक संख्या स्वयं से भाज्य होती है |

अर्थात (x ,x) \in R

R सममित नहीं है ,क्योंकि (2 ,4) \in R लेकिन (4 ,2) \notin R

अर्थात 4 भाज्य है 2 से लेकिन 2 भाज्य नहीं है 4 से

R संक्रामक है ,क्योंकि (1 ,2) \in R तथा (2 ,4) \in R तब (1 ,4) \in R

अर्थात 2 भाज्य है 1 से , 4 भाज्य है 2 से तो 4 भाज्य होगा 1 से

अतः R स्वतुल्य है , संक्रामक है और परंतु सममित संबंध नहीं है |

(iv) R = {(x ,y) : x-y एक पूर्णांक है }

(a) स्वतुल्य संबंध :-

(x ,y) , एक पूर्णांक है

(x ,x) \in R अर्थात x-x =0 एक पूर्णांक है |

R एक स्वतुल्य संबंध है |

(b) सममित संबंध :-

माना (x ,y) \in R

\Rightarrow x-y , एक पूर्णांक है |

तथा y-x , भी एक पूर्णांक है |

अतः R एक सममित संबंध है |

(c) संक्रामक संबंध :-

माना कि (x ,y) \in R तथा (y ,z) \in R तो (x ,z) \in R

अर्थात (x-y) ,एक पूर्णांक है तथा (y-z), एक पूर्णांक है तो (x-z) एक पूर्णांक है |

अतः R एक संक्रामक संबंध है |

(v)

(a) R = {(x ,y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं }

(x ,x) \in R अर्थात x और x एक ही स्थान पर कार्य करते हैं |

यदि (x ,y) \in R तो (y ,x) \in R

अर्थात x और y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं तो y और x भी एक स्थान पर कार्य करता है |

माना (x ,y) \in R तथा (y ,z) \in R तो (x ,z) \in R

अर्थात x और y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं तथा y और z एक स्थान पर कार्य करता है तो x और z भी एक ही स्थान पर कार्य करता है |

अतः R स्वतुल्य संबंध , सममित संबंध तथा संक्रामक संबंध है |

(b) R = {(x ,y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं }

(i) स्वतुल्य संबंध :-

(x ,x) \in R अर्थात x और x एक ही मोहल्ले में रहते हैं

R एक स्वतुल्य संबंध है |

(ii) सममित संबंध :-

यदि (x ,y) \in R तो (y ,x) \in R

अर्थात x और y एक ही मोहल्ले में रहते हैं तथा y और x एक ही मोहल्ले में रहते हैं |

अतः R एक सममित संबंध है |

(iii) संक्रामक संबंध :-

माना कि (x ,y) \in R तथा (y ,z) \in R तो (x ,z) \in R

अर्थात z और y एक मोहल्ले में रहते हैं तथा y और z एक मोहल्ले में रहते हैं तो x और z भी एक मोहल्ले में रहते हैं

अतः R एक संक्रामक संबंध है |

(c) R = {(x ,y) : x ,y से ठीक-ठीक 7 सेमी. लंबा है }

(i) स्वतुल्य संबंध :-

(x ,x) \notin R अर्थात कोई भी स्वयं से लंबा नहीं को सकता है |

अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |

(ii) सममित संबंध :-

(x ,y) \in R तथा (y ,x) \notin R अर्थात x ,y से 7 सेमी. लंबा है लेकिन y ,x से 7 सेमी. छोटा है |

अतः R एक सममित संबंध नहीं है |

(iii) संक्रामक संबंध :-

माना (x ,y) \in R तथा (y ,z) \in R अर्थात x ,y से ठीक 7cm लंबा है तथा y ,z से 7 cm लंबा है तो x ,z से 14 cm लंबा है |

\therefore (x ,z) \notin R

अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |

(d) R = {(x ,y) : x ,y की पत्नी है }

(i) स्वतुल्य संबंध :-

(x ,x) \notin R अर्थात कोई स्वयं की पत्नी नहीं हो सकती |

अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |

(ii) सममित संबंध :-

(x ,y) \in R तथा (y ,x) \notin R अर्थात x ,y की पत्नी है और y ,x की पति है न कि पत्नी |

अतः R एक सममित संबंध नहीं है |

(iii) संक्रामक संबंध :-

माना (x ,y) \in R तथा (y ,z) \in R अर्थात x ,y की पत्नी है और y ,z की पत्नी है | परंतु यह संभव नहीं है |

\therefore (x ,z) \notin R

अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |

(e) R = {(x ,y) : x ,y के पिता है }

(i) स्वतुल्य संबंध :-

(x ,x) \notin R अर्थात कोई स्वयं की पिता नहीं हो सकता |

अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |

(ii) सममित संबंध :-

(x ,y) \in R तथा (y ,x) \notin R अर्थात x ,y के पिता है और y ,x के बेटा है |

अतः R एक सममित संबंध नहीं है |

(iii) संक्रामक संबंध :-

माना (x ,y) \in R तथा (y ,z) \in R अर्थात x ,y के पिता है और y ,z के पिता है तो x ,z के दादा हैं

\therefore (x ,z) \notin R

अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |

2. सिध्द कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = {(a ,b) : a \le b² } द्वारा परिभाषित संबंध R , न तो स्वतुल्य है , न सममित है और न ही संक्रामक है |

हल :- (i) स्वतुल्य संबंध :-

R = {(a ,b) : a \le b² }

( \frac{1}{2},\frac{1}{2} ) \notin R क्योंकि \frac{1}{2} > \left(\frac{1}{2}\right)^2

अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |

(ii) सममित संबंध :-

(1 ,4) \in R लेकिन (4 ,1) \notin R अर्थात 1 , 4² लेकिन 4 , 1² से छोटा नहीं है |

अतः R एक सममित संबंध नहीं है |

(iii) संक्रामक संबंध :-

(3 ,2) \in R तथा (2 ,1.5) \in R लेकिन (3 ,1.5) \notin R

अर्थात (3 ,2²) तथा (2 ,(1.5)²) लेकिन (3 > (1.5)²)

\Longrightarrow (3<4) तथा (2<2.25) लेकिन (3>2.25)

अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |

3. जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1,2,3,4,5,6} में R={(a ,b) : b= a+1 } द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य ,सममित या संक्रामक है ।

हल :- माना कि A={1,2,3,4,5,6}

R={(a ,b) : b= a+1 }

R = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)} जहाँ a \in A

(i) स्वतुल्य संबंध :-

(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) \notin R

अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |

(ii) सममित संबंध :-

(1,2) \in R तथा (2,1) \notin

अतः R एक सममित संबंध नहीं है |

(iii) संक्रामक संबंध :-

(1,2) \in R तथा (2,3) \in R लेकिन (1,3) /notin R

अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |

अतः R न स्वतुल्य है , न संक्रामक और न ही सममित संबंध है |

4. सिध्द कीजिए कि R में R={(a ,b) : a \le b द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है ।

हल :- (i) स्वतुल्य संबंध :-

(a ,a) \in R क्योकिं (a = a)

अतः R एक स्वतुल्य संबंध है |

(ii) सममित संबंध :-

(2 ,4) \in R तथा (4 ,2) \notin R क्योंकि 2 < 4 लेकिन 4 > 2

अतः R एक सममित संबंध नहीं है |

(iii) संक्रामक संबंध :-

माना (a ,b) \in R तथा (b ,c) \in R तो (a ,c) \in R

क्योंकि a \le b तथा b \le c तो a \le c

अतः R एक संक्रामक संबंध है |

अतः R स्वतुल्य संबंध तथा , संक्रामक संबंध है किंतु सममित संबंध नहीं है |

5. जाँच कीजिए कि क्या R में R = {(a ,b) : a \le b³ } द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य , सममित अथवा सम

हल :- R = {(a ,b) : a \le b³ }

(i) स्वतुल्य संबंध :-

माना \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \notin R क्योंकि \frac{1}{2}>\left(\frac{1}{2}\right)^3

अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |

(ii) सममित संबंध :-

माना कि (1,2) \in R लेकिन (2,1) \notin R

क्योंकि 1< 2^3 लेकिन 2^3 > 1

अतः R एक सममित संबंध नहीं है |

(iii) संक्रामक संबंध :-

माना \left(3,\ \frac{3}{2}\right) \in R तथा \left(\ \frac{3}{2},\frac{6}{5}\right) \in R लेकिन \left(3,\ \frac{6}{5}\right) \notin R

क्योंकि 3 < \left(\frac{3}{2}\right)^3 तथा \frac{3}{2} < \left(\frac{6}{5}\right)^3 लेकिन 3 > \left(\frac{6}{5}\right)^3

अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |

अतः R न स्वतुल्य है , न संक्रामक और न ही सममित संबंध है |

6. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1,2,3} में R= {(1,2),(2,1)} द्वारा प्रदत्त संबंध r सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है ।

माना कि A= {1,2,3}

R = {1,2),(2,1 )

(i) स्वतुल्य संबंध :-

यहाँ (1,1) , (2,2), (3,3) \notin R

अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |

(ii) सममित संबंध :-

(1,2) \in R तथा (2,1) \in R

अतः R एक सममित संबंध है |

(iii) संक्रामक संबंध :-

माना (1,2) \in R तथा (2,1) \in R लेकिन (1,1) \notin R

अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |

अतः R स्वतुल्य संबंध तथा , संक्रामक संबंध नहीं है , किंतु सममित संबंध है |

7. सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में R={(x ,y) : x तथा y में पेजों की संख्या समान है } द्वारा प्रदत संबंध R एक तुल्यता संबंध है ।

(i) स्वतुल्य संबंध :-

x तथा x में पेजों की संख्या समान है

\Rightarrow (x ,x) \in R

अतः R एक स्वतुल्य संबंध है |

(ii) सममित संबंध :-

माना (x ,x) \in R

\Rightarrow x और y में पेजों की संख्या समान है ।

\Rightarrow y और x में पेजों की संख्या समान है ।

\Rightarrow (y ,x) \in R

अतः R एक सममित संबंध है |

(iii) संक्रामक संबंध :-

माना कि (x ,y) \in R तथा (y ,z) \in R

\Rightarrow x और y में पेजों की संख्या समान है ।

\Rightarrow y और z में पेजों की संख्या समान है ।

\Rightarrow x और z में पेजों की संख्या समान है ।

\Rightarrow (x ,z) \in R

अतः R एक संक्रामक संबंध है |

अतः R एक तुल्यता संबंध है |

8. सिद्ध कीजिए कि A = {1,2,3,4,5} में R = {(a ,b) : |a-b| सम है } द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है । प्रमाणित कीजिए कि {1,3,5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {2,4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं परंतु {1,3,5} का कोई अवयव {2,4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं पै ।

A= {1,2,3,4,5}

R={(a ,b) : |a-b| सम है }

(i) स्वतुल्य संबंध :-

प्रश्न के अनुसार , सभी a \in A

|a-a| = 0 (सम है )

अर्थात |1-1| =0 , |2-2|=0 …….. |5-5|=0

अतः R एक स्वतुल्य संबंध है |

(ii) सममित संबंध :-

\Rightarrow (a ,b) \in R

\Rightarrow |a-b| (सम है )

\Rightarrow |-(-a + b)| (सम है )

\Rightarrow |b-a| (सम है )

\Rightarrow (b ,a) \in R

अतः R एक सममित संबंध है |

(iii) संक्रामक संबंध :-

माना कि (a ,b) \in R तथा (b ,c) \in R

\Rightarrow |a-b| सम है तथा |b-c| सम है

\Rightarrow (a-b) सम है तथा (b-c) सम है

\Rightarrow (a-c) सम है क्योंकि दो सम संख्याओं का योग सम होता है ।

\therefore (a ,c) \in R

अतः R एक संक्रामक संबंध है |

अतः R एक तुल्यता संबंध है |

समुच्चय {1,3,5} के सभी अवयव एक-दूसरे संबंधित हैं क्योंकि इसके सभी अवयव विषम हैं । विषम संख्याओं का अंतर सदैव सम होता है । इसी प्रकार , समुच्चय {2,4} के सभी अवयव एक-दूसरे संबंधित हैं क्योंकि इसके सभी अवयव सम हैं । सम संख्याओं का अंतर सदैव सम होता है ।

समुच्चय {1,3,5} का कोई भी अवयव समुच्चय {2,4} के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं हैं , क्योंकि समुच्चय {1,3,5} के सभी अवयव विषम है तथा समुच्चय {2,4} के सभी अवयव सम है । सम और विषम संख्याओं का अंतर सदैव विषम होता है ।

जैसे :- {1-2, 1-4, 3-2, 3-4, 5-2, 5-4 सभी संख्या विषम है }

9. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A={x \in z : 0 \le x \le 12 } , में दिए गए निम्नलिखित संंबंधों R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है :

(i) R ={(a ,b) : |a-b| , 4 के एक गुणज है }

(ii) R = {(a ,b) : a=b}

प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए ।

(i) R ={(a ,b) : |a-b| , 4 के एक गुणज है }

(a) स्वतुल्य संबंध :-

|a-a|, 4 का एक गुणज है

\Rightarrow (a , a) \in R

अतः R एक स्वतुल्य संबंध है |

(b) सममित संबंध :-

माना (a ,b) \in R

\Rightarrow |a-b| , 4 का एक गुणज है

\Rightarrow |a-b| = 4k [k \in z ]

\Rightarrow |-(b-a)| = 4k

\Rightarrow |b-a| = 4k

\Rightarrow |b-a| , 4 का एक गुणज है |

\Rightarrow (b ,a) \in R

अतः R एक सममित संबंध है |

(c) संक्रामक संबंध :-

माना (a ,b) \in R तथा (b ,c) \in R

\Rightarrow |a-b| , 4 का एक गुणज है तथा |b-c| , 4 का एक गुणज है

\Rightarrow |a-b| = 4k_1 (माना) तथा |b-c| = 4k_2 (माना) { k_1,k_2 \in z }

\Rightarrow a-b = \pm4k_1 ……… (i) तथा b-c = \pm4k_2 …….(ii)

समीकरण (i) + समीकरण (ii) करने पर

\Rightarrow a – b + b – c = \pm{4k}_1\pm{4k}_2

\Rightarrow a – c = 4( \pm k_1 \pm k_2 ) \because {( \pm k_1 \pm k_2 ) \in z }

\Rightarrow | a – c | , 4 का एक गुणज है ।

\Rightarrow (a ,c) \in R

अतः R एक संक्रामक संबंध है |

अतः R एक तुल्यता संबंध है |

(ii) R ={(a ,b) : a = b }

(a) स्वतुल्य संबंध :-

(a ,a) \in R क्योंकि a = a

अतः R एक स्वतुल्य संबंध है |

(b) सममित संबंध :-

माना (a ,b) \in R

\Rightarrow a = b \Rightarrow b = a

\therefore (b ,a) \in R

अतः R एक सममित संबंध है |

(c) संक्रामक संबंध :-

माना (a ,b) \in R तथा (b ,c) \in R

\therefore a = b तथा b = c

\therefore a = c

\therefore (a ,c) \in R

अतः R एक संक्रामक संबंध है |

अतः R एक तुल्यता संबंध है |

10. ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए , जो

(i) सममित हो , परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो ।

(ii) संक्रामक हो , परंतु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो ।

(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक न हो ।

(iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो ।

(iv) सममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो ।

हल :-

(i) माना A = {5,6.7}

तथा संबंध R = {(5,6), (6,5)}

संबंध R स्वतुल्य नहीं है क्योंकि (5 ,5) , (6 ,6) , (7 ,7) \notin R

संबंध R सममित है क्योंकि (5 ,6) \in R और (6 ,5) \in R

संबंध R संक्रामक नहीं है क्योंकि (5 ,6) \in R तथा (6 ,5) \in R लेकिन (5 ,5) /notin R

अतः संबंध R सममित संबंध है परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक है ।